Si ipotizzi che Achille e una tartaruga siano due corpi puntiformi in moto su una retta con rispettive velocità costanti vA = 11 m / s e vT = 1 m / s, e che la tartaruga abbia un vantaggio iniziale x0T = 22 m. Le leggi orarie dei due corpi (ossia le relazioni fra la posizione x e il tempo t di ciascuno di essi) siano:

xA = vA ;

xT = vT t + x0T.

ATENIESE: Nell’insegnare a misurare le realtà che hanno lunghezza, larghezza e profondità, essi [i docenti] liberano [i loro alunni] da quella particolare forma di ignoranza, assurda e inabilitante che è insita in ogni uomo.

CLINIA: Quale ignoranza intendi?

ATENIESE: Caro Clinia, anch’io ho preso coscienza molto tardi di questa nostra condizione e il fatto mi ha veramente colpito, perché mi è sembrata una condizione non degna di uomini, ma di una qualche specie di maiali. Pertanto, ne ho provato vergogna, non tanto per me, quanto per tutto il popolo dei Greci.

CLINIA: A che ti riferisci, straniero? Suvvia, parla.

ATENIESE: D’accordo, parlerò. Meglio ancora, preferisco mostrarti questa ignoranza ricorrendo a una serie di domande. Rispondimi un po’: sai che cos’è una lunghezza?

CLINIA: Certo che lo so.

ATENIESE: E la larghezza?

CLINIA: Senz’altro.

ATENIESE: E sai pure che a queste due va aggiunta come terza la profondità?

CLINIA: Come potrei non saperlo?

ATENIESE: E non sei anche dell’avviso che tutte queste dimensioni sono fra loro commensurabili?

CLINIA: Certamente.

[…]

ATENIESE: E se invece ci fossero dei casi in cui il reciproco rapporto delle dimensioni è assolutamente impossibile, mentre, come sappiamo, noi Greci siamo convinti del contrario, non sarebbe giusto che vergognandomi a nome di tutti dicessi loro: “O voi che siete il fior fiore dei Greci, ecco qui proprio una di quelle nozioni che noi ritenevamo vergognoso ignorare. E non è forse vero che non c’è gran merito a conoscere ciò che è necessario?

CLINIA: Come no.

ATENIESE: Ma non è tutto qui, poiché ci sono molti altri problemi analoghi nei quali per noi sono in agguato errori della stessa gravità di questi.

CLINIA: Quali mai?

ATENIESE: Mi riferisco al problema dei rapporti fra grandezze commensurabili e incommensurabili e a quello della definizione della loro natura. Questo va assolutamente affrontato e risolto se non si vuole essere squalificati come uomini.

(Platone, Leggi, VII, 819 c – 820 c; in Platone, Tutti gli scritti, a cura di G. Reale, Bompiani, Milano 2008)


Tutti i sillogismi per riduzione all’impossibile provano per via dimostrativa il falso, però dimostrano ipoteticamente la <proposizione> iniziale quando, essendo stata posta la contraddizione, ne derivi qualcosa d’impossibile: per esempio, che la diagonale è incommensurabile [al lato] mediante il diventare uguale il pari al dispari, se si è posto che è commensurabile. Dunque, il diventare il pari uguale al dispari viene provato per via dimostrativa, mentre l’essere la diagonale incommensurabile [al lato] si dimostra per ipotesi, poiché in forza della contraddizione deriva una falsità.

(Aristotele, Analitici Primi, I 23, 41 a 24 – 31, traduzione e cura di M. Zanatta, UTET, Torino 1996)


Il possesso di questa scienza [quella che ha come scopo la ricerca dei princìpi primi e delle cause] deve porci in uno stato contrario a quello in cui eravamo all’inizio delle ricerche. Infatti, come abbiamo detto, tutti cominciano dal meravigliarsi che le cose stiano in un determinato modo: così, ad esempio, di fronte alle marionette che si muovono da sé nelle rappresentazioni, o di fronte alle rivoluzioni del sole o alla incommensurabilità della diagonale al lato: Infatti, a tutti coloro che non hanno ancora conosciuto la causa, fa meraviglia che fra l’una e l’altro non vi sia una unità minima di misura comune. Invece, bisogna pervenire allo stato d’animo contrario, il quale è anche il migliore, secondo quanto dice il proverbio. E così avviene, appunto, per restare agli esempi fatti, una volta che si sia imparato: di nulla un geometra si meraviglierebbe di più che se la diagonale fosse commensurabile al lato.

(Aristotele, Metafisica, A (I) 2 / 3, 983 a 11 – 21, traduzione e cura di G. Reale, Rusconi, Milano 1999)


Impossibile è ciò il cui contrario è necessariamente vero. Per esempio, è impossibile che la diagonale del quadrato sia commensurabile al lato, perché questo è falso e il suo contrario non solo è vero, ma è necessariamente vero: la diagonale del quadrato rispetto al lato è necessariamente incommensurabile; dunque, l’affermazione della commensurabilità non solo è falsa, ma è necessariamente falsa. Il contrario dell’impossibile, cioè il possibile, si ha quando non è necessario che il contrario sia falso: per esempio, è possibile che un uomo sia seduto, perché non è necessariamente falso che egli non sia seduto.

(Aristotele, Metafisica, Δ (V) 12, 1019 b 23 – 30, traduzione e cura di G. Reale, Rusconi, Milano 1999)

Essi [i Pitagorici] pongono, poi, come princìpi costitutivi del numero il pari e il dispari; di questi, il primo è illimitato, il secondo limitato. L’uno deriva da entrambi questi elementi, perché è, insieme, e pari e dispari. Dall’uno, poi, procede il numero; e i numeri, come si è detto, costituirebbero tutto quanto l’universo.

Altri Pitagorici affermarono che i princìpi sono dieci, distinti in serie < di contrari>:

  1. Limite – illimitatezza
  2. Dispari – pari
  3. Uno – molteplice
  4. Destro – sinistro
  5. Maschio – femmina
  6. Fermo – mosso
  7. Retto – curvo
  8. Luce – tenebra
  9. Buono – cattivo
  10. Quadrato – rettangolo

(Aristotele: Metafisica, A (I) 5, 986 a 17 – 26, traduzione e cura di G. Reale, Rusconi, Milano 1999)


Nessuna menzogna accoglie in sé la natura del numero, né l’armonia; il falso nulla ha in comune con esse. Menzogna e inadeguatezza sono proprie della natura dell’illimitato, dell’inintelligibile, dell’irrazionale. Giammai menzogna spira verso il numero; alla cui natura, difatti, è ostile e nemica la menzogna, mentre la verità è propria e connaturata alla specie del numero.(Filolao, in Stobeo, Ecloghe sulla natura e l’etica; in I Presocratici, a cura di G. Reale, Bompiani, Milano 2008)


Colui che per primo rivelò la natura delle grandezze commensurabili e incommensurabili a coloro che non erano degni di partecipare a tante cognizioni, si dice che incorresse in tanto odio, che non solo fu escluso da ogni compagnia e convivenza, ma che gli fu anche costruita una tomba, come se colui che una volta era un compagno, avesse davvero cessato di vivere. Altri dicono, che anche la divinità si adirasse con i divulgatori delle dottrine di Pitagora. Infatti, perì come empio in mare […] colui che aveva divulgato la dottrina degli irrazionali e degli incommensurabili.

(Giamblico, Vita di Pitagora; in I Presocratici, a cura di G. Reale, Bompiani, Milano 2008)


Narrano i Pitagorici che il primo divulgatore di questa teoria [delle grandezze incommensurabili] fu vittima di un naufragio; e parimenti si riferiscono alla credenza che tutto ciò che è irrazionale, completamente inesprimibile e informe deve rimanere nascosto; e se qualche anima si rivolge a un tale aspetto della vita, rendendolo accessibile e manifesto, essa viene trasportata nel mare delle origini, e ivi flagellata dalle onde senza pace.

(Scolio (attribuito a Proclo) al libro X degli Elementi di Euclide; in E. Giusti, Teoria delle proporzioni e numeri reali; in E. Bellone, E. Giusti (curr.): Argomenti di storia della scienza: Matematica e Fisica – Università di Pavia (1986))


 

Il profitto (o utile netto) di una azienda realizzato in un determinato periodo di tempo è la differenza fra i ricavi totali e i costi totali dell’impresa nell’intervallo temporale considerato. Il grafico che segue rappresenta la variazione del profitto P ottenuto dal proprietario del forno “Panis” di Roma in funzione della quantità Q di pane venduta presso il suo esercizio commerciale nella settimana compresa fra il 6 ottobre 1582 e il 12 ottobre 1582.

La curva di domanda è la linea del piano cartesiano che rappresenta la relazione fra la quantità x richiesta di un determinato bene ed il prezzo p di quest’ultimo, nell’ipotesi che tutti gli altri fattori che ne influenzano la domanda rimangano costanti. Si supponga che esista una relazione di proporzionalità inversa fra x e p, ossia

xp = k = costante (k > 0):

la curva del piano cartesiano che la rappresenta è uno dei quattro rami di iperbole equilatera tracciati nella figura che segue.

Si consideri una azienda A che produce una quantità B di un bene sostenendo un costo totale di produzione C: si definisce costo marginale C’ la variazione di C corrispondente ad una variazione unitaria di B. Nella teoria economica, la relazione matematica fra C’ e B è spesso rappresentata da una funzione di secondo grado del tipo:

C’ = a B2 + b B + c (a > 0),

il cui grafico è una parabola del piano cartesiano avente la concavità rivolta verso l’alto, come nei grafici seguenti.


Vengono qui riportati alcuni argomenti di Zenone riferiti da Aristotele nella Fisica. L’obiettivo di Zenone è mostrare che la molteplicità e il divenire non sono gestibili razionalmente. Infatti, se proviamo ad applicare il logos al movimento, ne deriva che la più banale delle esperienze non è comprensibile.

Quattro sono gli argomenti di Zenone intorno al movimento […].

Primo, quello sull’inesistenza del movimento per la ragione che il mosso deve giungere prima alla metà che non al termine […]. Ragione per cui il ragionamento di Zenone assume […] che non si possano percorrere elementi spaziali infiniti o toccare nella traslazione uno per uno infiniti elementi spaziali in un tempo determinato […]

Secondo è l’argomento detto Achille. Questo sostiene che il più lento non sarà mai raggiunto nella sua corsa dal più veloce. Infatti è necessario che chi insegue giunga in precedenza là di dove si mosse chi fugge, di modo che necessariamente il più lento avrà sempre un qualche vantaggio. Questo ragionamento è lo stesso di quello della dicotomia, ma ne differisce per il fatto che la grandezza successivamente assunta non viene divisa per due. Dunque il ragionamento ha per conseguenza che il più lento non viene raggiunto ed ha lo stesso fondamento della dicotomia […], di modo che la soluzione sarà, per forza, la stessa. […]

Aristotele, Fisica, VI (Z) 9, 239b; 2, 231a;  DK 29 A25-28, trad. it. in I Presocratici. Testimonianze e frammenti, a cura di G. Giannantoni, Laterza, Roma-Bari, 1981, vol. I, pp. 294-298

Utilizzando lo schema del ragionamento per assurdo, il gruppo provi a giustificare la conclusione che l’essere è spazialmente infinito.