Un’applicazione delle “quantità evanescenti”: il calcolo della tangente ad una curva

Si voglia calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y= x²nel punto P (2, 4). Com’è noto, una retta non parallela all’asse delle ordinate, passante per P (x₀, y₀) e avente coefficiente angolare m, ha equazione:

y– y₀= m(x– x₀).

Applicando il metodo basato sulla costruzione del “triangolo caratteristico” (per il quale si rinvia alla relativa scheda di approfondimento), si ricava:

m= dy/dx.

Il rapporto che fornisce il coefficiente angolare della tangente sarà ora calcolato impiegando “quantità evanescenti”. In corrispondenza di un incremento infinitesimo dxdell’ascissa x₀, l’ordinata y₀di P subisce un incremento dy; si ottiene così un nuovo punto Q (x₀ +dx, y₀+ dy) della parabola, infinitamente vicino a P, tale che:

y₀+ dy= (x₀ + dx)².

Perciò, risulta:

y₀+ dy= x₀²+ 2 x₀ dx+ (dx)².

Poiché P appartiene alla parabola, è y₀= x₀²; quindi, l’uguaglianza precedente diviene:

dy= 2 x₀ dx+ (dx)². (1)

Dal momento che dxè una quantità infinitesima, (dx)²è trascurabile rispetto a 2 x₀ dx; pertanto, secondo Leibniz (e, ovviamente, in accordo con il postulato di de L’Hôpitalmenzionato nella parte generale del modulo) si ottiene esattamente, dalla (1):

dy= 2 x₀ dx.

In definitiva:

m= dy/dx= 2 x₀.

Quindi, l’equazione della retta tangente in P (2, 4) alla parabola di equazione y= x²è:

y– 4 = 2 (x– 1),

ossia, in forma esplicita:

y= 2x+ 2.