Schede e approfondimenti
Un’applicazione delle “quantità evanescenti”: il calcolo della tangente ad una curva
Si voglia calcolare l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione y= x2nel punto P (2, 4). Com’è noto, una retta non parallela all’asse delle ordinate, passante per P (x0, y0) e avente coefficiente angolare m, ha equazione:
y– y0= m(x– x0).
Applicando il metodo basato sulla costruzione del “triangolo caratteristico” (per il quale si rinvia alla relativa scheda di approfondimento), si ricava:
m= dy/dx.
Il rapporto che fornisce il coefficiente angolare della tangente sarà ora calcolato impiegando “quantità evanescenti”. In corrispondenza di un incremento infinitesimo dxdell’ascissa x0, l’ordinata y0di P subisce un incremento dy; si ottiene così un nuovo punto Q (x0 +dx, y0+ dy) della parabola, infinitamente vicino a P, tale che:
y0+ dy= (x0 + dx)2.
Perciò, risulta:
y0+ dy= x02+ 2 x0 dx+ (dx)2.
Poiché P appartiene alla parabola, è y0= x02; quindi, l’uguaglianza precedente diviene:
dy= 2 x0 dx+ (dx)2. (1)
Dal momento che dxè una quantità infinitesima, (dx)2è trascurabile rispetto a 2 x0 dx; pertanto, secondo Leibniz (e, ovviamente, in accordo con il postulato di de L’Hôpitalmenzionato nella parte generale del modulo) si ottiene esattamente, dalla (1):
dy= 2 x0 dx.
In definitiva:
m= dy/dx= 2 x0.
Quindi, l’equazione della retta tangente in P (2, 4) alla parabola di equazione y= x2è:
y– 4 = 2 (x– 1),
ossia, in forma esplicita:
y= 2x+ 2.