Incommensurabilità fra il lato e la diagonale nel pentagono regolare e nel quadrato

Una importante coppia di grandezze incommensurabili è quella formata dal lato e dalla diagonale di un pentagono regolare: questa loro proprietà sarà dimostrata mediante un ragionamento per assurdo, applicando il metodo delle sottrazioni reciproche(anthyphairesiso antanairesis). Si tratta di un procedimento algoritmico, basato su una proposizione dimostrata nel decimo libro degli Elementidi Euclide, che fornisce un criterio per riconoscere se due grandezze sono incommensurabili: Qualora, [fissate] due grandezze disuguali, e sottratta reciprocamente in successione la minore dalla maggiore, quello che resta non misuri mai completamente quella prima di se stessa, le grandezze saranno incommensurabili (Euclide, Elementi(prop. X.2), traduzione e cura di F. Acerbi, Bompiani, Milano 2007). La validità di questo metodo è a sua volta fondata su un fondamentale assioma geometrico, detto assioma di Eudosso – Archimede, che si può esprimere mediante uno degli enunciati equivalenti a) e b) che seguono.

1. Date due grandezze omogenee non nulle (due segmenti, due superfici, ecc.), esiste almeno un multiplo di una di esse che è maggiore dell’altra.
2. Date due grandezze omogenee non nulle, esiste almeno un sottomultiplo di una di esse che è minore dell’altra.

Si considerino due grandezze omogenee ae b, cona> b. Il primo passo del metodo in questione consiste nel dividere la grandezza maggiore per la minore: si otterrà come risultato un quoziente intero n₁e un resto r₁minore di b, in modo che siaa= n₁b+r₁. Se r₁= 0, la grandezza minore è sottomultipla della maggiore e rappresenta, quindi, la misura comune di entrambe; se r₁≠ 0, si divide la grandezza minore iniziale (b) per r₁: si ottengono un nuovo quoziente intero n₂ e un altro resto r₂, tali cher₂ < r₁e b= n₂ r₁+r₂. Se r₂= 0, r₁è la misura comune ai segmenti ae b; in caso contrario, si divide r₁perr₂, in modo che risulti r₁= n₃ r₂+r₃, con r₃ <r₂, e così via. Se il procedimento ha termine dopo un numero finitokdi passi (e quindi il k – esimo resto è nullo), ae bsono commensurabili; in caso contrario, esse risultano incommensurabili.

Il metodo delle sottrazioni reciproche sarà adesso applicato alla coppia di grandezze omogenee costituita dal lato e dalla diagonale del pentagono regolare. Questa figura geometrica è un poligono avente tutti i lati e tutti gli angoli interni congruenti; l’ampiezza di ciascuno di questi ultimi è 108°. Si traccino le diagonali del pentagono e si tratteggi il segmento JH, che è parallelo alla diagonale EB e al lato DC, come nella figura seguente:

Dal confronto fra i triangoli isosceli AED, ABC, BCD e CDE si deduce che: a) essi sono congruenti, e quindi lo sono anche le diagonali del pentagono; b) fissato un vertice del poligono, il corrispondente angolo interno al pentagono è diviso, dalle due diagonali aventi un estremo in quel vertice, in tre parti congruenti di ampiezza 36°. Inoltre:

• il triangolo AHB è isoscele sulla base HB perché A Ĥ B = 180° – 108° = 72°; perciò: AB = AH;
• il triangolo CHJ è isoscele sulla base JC perché HĈI = 36° = IĈD e IĈD = IĴH perché sono alterni interni; pertanto: HJ = HC;
• il triangolo CHB è isoscele sulla base BC perché entrambi gli angoli alla base misurano 36°; quindi: C Ĥ B = 180° – 72° = 108°. Perciò, essendo HĈB < C Ĥ B, si ha HC < CB, ossia: HJ < AB.

Siano l la lunghezza del lato del pentagono e d quella della sua diagonale. E’ facile dimostrare che le diagonali di ABCDE, intersecandosi, formano un secondo pentagono regolare FGHIJ: si indichino con l₁e d₁rispettivamente la lunghezza del lato e quella della sua diagonale. Risulta:

AC = AH + HC = AB + HJ,

ossia:

d=l+ d₁(con: d₁< l),

e quindi:

d–l= d₁. (I)

Supponiamo per assurdo che AC e AB siano commensurabili: allora, per definizione essi hanno un sottomultiplo comune, che rappresenterà la loro misura comune. Pertanto, esistono un segmento di lunghezza h, piccolo quanto si vuole ma finito, e due numeri interi positivi n em(n> m) tali che d= nh, l= mh; quindi, risulta:

d₁= nh – mh = (n– m) h.

Perciò, il segmento lungo hè un sottomultiplo comune anche al segmento HJ.

Si osservi che i triangoli ABG e BCH sono congruenti; in particolare: AG = HC.

Pertanto, poiché:

1. AG = HC = HJ;
2. AH = AB;
3. AH = AG + GH,

allora:

AB = HJ + GH,

ossia:

l=l₁+ d₁,

e quindi:

l– d₁ = l₁. (II)

L’uguaglianza (I) equivale ad affermare che, date le due lunghezze d e l, sottraendo la minore dalla maggiore si ottiene come risultato (resto della sottrazione) la lunghezza d₁; la (II) significa che d₁ è sottratto dalla grandezza minore della coppia formata da d e l: quindi, queste due uguaglianze costituiscono un esempio di applicazione del metodo delle sottrazioni reciproche. Inoltre, dalla (II) si deduce che GH ha lo stesso sottomultiplo di lunghezza h comune a AB e HJ; in particolare, è commensurabile con HJ.

Disegnando anche le altre diagonali di FGHIJ si otterrà un terzo pentagono regolare F’G’H’I’J’ più piccolo dei primi due, nel quale il lato l₂ e la diagonale d₂ saranno tali che:

l₁– d₂ = l₂. (III)

Questo procedimento si può iterare infinite volte, ottenendo ogni volta un pentagono regolare più piccolo del precedente, in cui però la diagonale e il suo lato hanno sempre la stessa misura comune della diagonale e del lato di ognuno dei precedenti pentagoni: ma questo è assurdo, perché, avendo h un valore finito, esiste almeno un intero positivo ktale che la k– esima iterazione darebbe luogo ad un pentagono con il lato e / o la diagonale di lunghezza più piccola di h.

Infine, si noti che i triangoli isosceli ABC e HIJ sono simili, avendo i tre angoli interni ordinatamente congruenti; perciò, è valida la seguente proporzione:

AC : AB = HJ : HI;

poiché gli antecedenti e i conseguenti dei due rapporti sono, rispettivamente, le diagonali e i lati dei due pentagoni nella figura, si può affermare che il rapporto fra la diagonale e il lato di un pentagono regolare è costante: esso, indicato con φ, è detto rapporto aureo. Si può dimostrare che, suddividendo un segmento AB in “media ed estrema ragione” (dal latino rationell’accezione di “rapporto”), ossia in due parti AC e CB tali che:

1. AC > CB
2. AB : AC = AC : CB (AC è medio proporzionale fra gli estremi AB e CB),

risulta:

φ = AC : CB.

Il segmento AC è chiamato sezione aurea del segmento AB.

B) Si può ragionare in modo analogo anche per giustificare l’incommensurabilità fra la diagonale e il lato di un quadrato. Come è noto, la diagonale di un quadrato divide quest’ultimo un due triangoli rettangoli isosceli congruenti, aventi la diagonale come ipotenusa. Si riporti su di essa un segmento congruente al lato del quadrato, come nella figura seguente, in cui sulla diagonale AC è riportato il segmento AP, congruente al lato AB del quadrato:

Si supponga per assurdo che AC e AB siano fra loro commensurabili, e quindi che essi abbiano un sottomultiplo comune. Tracciando il segmento PQ perpendicolare all’ipotenusa AC, si otterrà il triangolo rettangolo isoscele QPC, che è simile a ABC: perciò, vale la seguente proporzione:

BA : AC = PC : CQ,

dove PC = AC – AP = AC – AB.

A questo punto, si può individuare sull’ipotenusa CQ del nuovo triangolo rettangolo il punto R tale che QR = PC; il segmento RS perpendicolare a CQ determina il triangolo CRS, anch’esso rettangolo isoscele e simile ai primi due; quindi, risulta:

BA : AC = PC : CQ = RC : CS,

dove RC = QC – QR = QC – CP.

Questo procedimento può essere ripetuto all’infinito, generando ogni volta un triangolo rettangolo isoscele più piccolo di quello immediatamente precedente, in cui però il rapporto fra un cateto e l’ipotenusa è sempre lo stesso: ma ciò contrasta con l’ipotesi che la diagonale e il lato del quadrato siano commensurabili, poiché per quanto piccola sia la lunghezza l del sottomultiplo comune a questi due segmenti, si arriverà ad un certo punto ad ottenere un triangolo rettangolo isoscele in cui l’ipotenusa e / o il cateto avranno lunghezza minore di l.