Il “triangolo caratteristico” di Leibniz

Si voglia tracciare il segmento DP della tangente ad una curva nel suo punto P di coordinate note (x₀, y₀).

Questo problema può essere risolto se si determina l’ascissa x_D del punto D in cui la tangente alla curva interseca l’asse delle ascisse: poiché x₀ è noto, basterà calcolare la lunghezza t del segmento DA, chiamato sottotangente. A tale scopo, si considerino un incremento finito Δx dell’ascissa di P, e il corrispondente incremento Δy di y₀, in modo da ottenere il punto P’ della curva di coordinate (x₀ + Δx, y₀ + Δy): si disegni la secante PP’ alla curva.

Tracciando una spezzata di estremi P e P’, i cui lati hanno gli estremi sulla curva, si osserva facilmente che, all’aumentare del numero di questi, ciascun segmento della spezzata assume una lunghezza sempre minore, e tende sempre di più a confondersi con l’arco di curva che sottende.

 

Leibniz afferma che, quando il numero dei lati della spezzata diviene infinitamente grande, in corrispondenza di un incremento infinitesimo dx e dy di x₀ e y₀ si ottiene un punto Q della curva infinitamente vicino a P, di coordinate (x₀ + dx, y₀ + dy), e si può considerare un triangolo rettangolo (il “triangolo caratteristico”) i cui cateti sono dx e dy, e avente come ipotenusa il segmento PQ, che (in base al principio di continuità leibniziano) si può identificare sia con l’arco di curva di estremi P e Q che con un segmento di lunghezza infinitesima ds appartenente alla tangente DP.

Poiché i triangoli rettangoli   DPA e PQR sono simili, risulta:

PA : DA = QR : DR,

ossia:

t : y₀ = dx : dy ;

in conclusione:

t = y₀   = y₀ ;

Pertanto, applicando le regole del calcolo infinitesimale per determinare dy/dx oppure dx/dy, si può ricavare la sottotangente DP, e quindi ottenere l’ascissa del punto D per tracciare la tangente in P alla curva: il suo coefficiente angolare (rapporto fra la variazione delle ordinate di due suoi punti e quello delle corrispondenti ascisse) è dy/dx.

È opportuno osservare che questo ragionamento presuppone che la proporzione: PA : DA = QR : DR abbia significato: tuttavia, questo non è rigorosamente corretto, perché i differenziali dx e dy non sono grandezze archimedee, e quindi non può essere impiegata la teoria euclidea delle proporzioni.

Il “triangolo caratteristico” è utilizzato da Leibniz anche per giustificare l’affermazione che l’area compresa fra una curva del piano cartesiano, l’asse delle ascisse e le rette di equazione x = h e x = k (dove h e k sono le ascisse di due punti della curva) è uguale alla “somma” (all’aggregato) di un numero infinito di rettangoli di area infinitesima.

Se l’intervallo fra h e k è suddiviso in un numero infinitamente grande di segmenti di lunghezza dx, la superficie che si vuole calcolare equivale alla composizione di un numero infinito di rettangoli infinitesimi di base y e altezza dx, e di un numero infinito di “triangoli caratteristici”: però l’area di ciascuno di essi, che è data da dx dy / 2, essendo il prodotto di due infinitesimi può essere trascurata rispetto all’area y dx di ogni rettangolo. Così – scrive Leibniz nel 1680 – rappresento con il mio calcolo l’area della figura con , dove il simbolo ∫ (deformazione della lettera S di Summa), introdotto da Leibniz, sarà universalmente adottato nel calcolo integrale per indicare un’area.