Derivata

Data una funzione y = f (x) (dove x è un numero reale), e indicato con x₀ un elemento del dominio di f, si considerino un incremento h della variabile x (positivo o negativo) ed il rapporto [f (x₀ + h) – f (x)] / h, chiamato rapporto incrementale di f (x) relativo a x₀ e a h. Se esiste, ed è un numero reale, il limite l di tale rapporto quando h tende a zero, si dice che f è derivabile in x₀, mentre l, spesso denotato con y’(x₀) oppure f ’(x₀), è chiamato derivata prima della funzione in x₀. La funzione y’ = f ’(x) è detta funzione derivata prima: essa ha come dominio il sottoinsieme A’ del dominio A di f in cui quest’ultima è derivabile, e come codominio l’insieme delle derivate prime y’(x₀), dove x₀ è un elemento di A’. La definizione di derivata può essere applicata anche alla funzione f ’(x): si introduce così la nozione di derivata seconda di una funzione in x₀, indicata con f ’’(x₀). Procedendo nello stesso modo, si possono definire le derivate terza, quarta, e così via: la derivata n – esima di una funzione f (x) è detta derivata di ordine n di f.