Schede e approfondimenti

“Aritmogeometria” dei numeri pari e dispari: numeri quadrati e numeri rettangolari

Tra i numeri piani poligonali sono di particolare interesse i numeri quadrati. La progressione aritmetica è quella di ragione 2, cioè 1, 3, 5, 7, … [formata, quindi, dai numeri dispari], le cui somme parziali corrispondono a una successione di quadrati ottenibili l’uno dall’altro con una cornice di punti a forma di squadra, che prende il nome di gnomone.

I numeri quadrati si formano con l’aggiunzione successiva di gnomoni, formati sempre da un numero dispari di punti, attorno all’unità. La formula [ricorsiva] corrispondente è an  =  an – 1  +  2n– 1, n= 2, 3, 4, …, con a1  =  1.

Ma che cosa succede se invece che dall’unità si fa iniziare il processo dal numero 2? [I termini della corrispondente progressione aritmetica sono adesso 2, 4, 6, …, e quindi i numeri pari.] Successivi gnomoni [formati questa volta da un numero pari di punti] possono essere applicati anche in questo caso, ma ottenendo una serie di numeri completamente diversa, e per certi versi opposta, alla precedente: i numeri rettangolari.

Mentre i numeri quadrati sono simili, e riportano pertanto all’identità e alla permanenza nel divenire, i numeri rettangolari producono tipicamente qualcosa d’altro; per questo Euclide usa il termine ἑτερόμηκες [heterómēkes, ossia “di diversa lunghezza”] (Elementi, I, Def. 22).

I rapporti tra il lato maggiore e il lato minore sono infatti tutti diversi tra loro, e uguali, rispettivamente, a 2 / 3, 3 / 4, 4 / 5, …, n/ (n+ 1). Quindi, nel quadrato identità costante, nel rettangolo una varietà senza fine (anche se regolata da una legge facilmente individuabile). Da una parte un’unitàche si espande in forme sempre uguali, dall’altra una “dualità infinita” che si sviluppa in forme sempre diverse. Una possibile ragione, questa, dell’affinità fra il numero due e l’apeiron, l’illimitato inteso come principio di perenne diversificazione opposto al limite come principio di permanenza della forma.

Fonti

  • Testo tratto da: P. Zellini, Gnomon, Adelphi, Milano 2007, pp. 29 – 30.
  • Illustrazioni tratte da: A. Sani, Infinito, La Nuova Italia, Firenze 1998, p. 14