Competenza: Individuare collegamenti e relazioni tra fenomeni, eventi e concetti diversi

Rouen, 29 febbraio 1940

Mia cara sorella,

ho ricevuto le tue lettere, quella che era arrivata a Le Havre e quella che mi hai mandato qui. […]

Ciò che rende oltremodo originale la matematica greca è forse il fatto che non esiste l’approssimazione: questo ha ucciso il numero a vantaggio del lógos (è qui tutto il dramma della scoperta degli irrazionali) e ha mandato in rovina il pitagorismo per approdare a Platone e a Euclide. Naturalmente il lógos non è altro che il nostro “numero reale”. Fino ai Greci non potevano esserci incommensurabili. Avendo scoperto che il numero (ciò che chiamavano numero: vale a dire il numero intero) non era sufficiente a esprimere i rapporti fra grandezze, occorreva evidentemente ricominciare tutto da capo, dato che non si era più sicuri di niente. In algebra il metodo assiomatico è completamente inutile, giacché le proprietà elementari dell’addizione e della moltiplicazione sono troppo banali perché si senta il bisogno di esprimerle, ma in geometria non è più così. […]

Rimango il tuo affezionato fratello,

André

Parigi, marzo 1940?

Mio caro fratello,

[…] Certo, c’è stato un dramma degli incommensurabili, e di portata immensa. La divulgazione di questa scoperta ha gettato sulla nozione di verità un discredito che dura tuttora; ha fatto nascere, o quanto meno ha contribuito a far nascere, l’idea che si possano dimostrare altrettanto bene due tesi contraddittorie; i sofisti hanno diffuso fra le masse un simile punto di vista, nonché un sapere di qualità inferiore, teso unicamente verso la conquista della potenza; ne sono derivati, dalla fine del V secolo, la demagogia e l’imperialismo che ad essa è strettamente legato, le cui conseguenze hanno distrutto la civiltà ellenica; a causa di questo processo (al quale hanno certo contribuito altri fattori, segnatamente le guerre contro i Medi), le armi romane hanno potuto infine uccidere la Grecia, senza alcuna possibilità di una sua risurrezione. Ne concludo che gli dèi hanno avuto ragione di far perire in un naufragio il pitagorico colpevole di aver divulgato la scoperta degli incommensurabili.

Non credo tuttavia che fra i geometri e i filosofi vi sia stato un dramma. Il pitagorismo è stato mandato in rovina da tutt’altro (nella misura in cui lo è stato), e cioè dal massiccio massacro dei pitagorici in Magna Grecia. Del resto il pentagono stellato, che rappresenta un rapporto di incommensurabili (divisione di un segmento in estrema e media ragione), fu uno dei simboli dei pitagorici. Ma Archita (uno dei sopravvissuti) fu un grande geometra, e fu il maestro di Eudosso, autore della teoria dei numeri reali […]

Possiamo chiederci perché i Greci si siano tanto applicati allo studio della proporzione. Si tratta senz’altro di una preoccupazione religiosa, e di conseguenza (dato che si tratta della Grecia) in parte estetica. Il legame fra le preoccupazioni matematiche da un lato e quelle filosofico – religiose dall’altro, legame la cui esistenza è storicamente attestata per l’epoca di Pitagora, risale certamente a molto tempo prima. […] Penso dunque che la nozione di proporzione sia stata fin da un’Antichità abbastanza remota oggetto di una meditazione che costituiva uno dei procedimenti di purificazione dell’anima, forse il procedimento principale. È fuor di dubbio che questa nozione era al centro della dell’estetica, della geometria, della filosofia dei Greci. […] La purezza dell’anima era il loro unico assillo; “imitare Dio” ne era il segreto; lo studio della matematica aiutava a imitare Dio in quanto in quanto consideravano l’universo come sottomesso alle leggi matematiche, il che faceva del geometra un imitatore del legislatore supremo. […]

Il fatto è che per i Greci la matematica era veramente un’arte. Il suo scopo era il medesimo di quello della loro arte, ovvero rendere sensibile un’affinità fra la mente umana e l’universo, fare apparire il mondo come “la città di tutti gli esseri dotati di ragione” [La citazione è da Marco Aurelio, A se stesso, IV, 4]. […]

Fraternamente,

Simone

Rouen, 28 marzo 1940

Mia cara sorella,

devo fare alcune osservazioni sulla teoria della matematica greca; in parte più tecniche, in parte di ordine generale. […]

Torniamo ai Greci. Come pensi che abbiano scoperto l’incommensurabile? Mi pare di ricordare che al riguardo non si abbia nessun dato certo, e di aver visto da qualche parte un suggerimento ingegnoso, con una discesa infinita in cui la cosa si vedeva su un quadrato e la sua diagonale [si veda il sottostante triangolo OBA, rettangolo in B, in cui BC è l’altezza relativa all’ipotenusa] (corrispondente numericamente a questo: si ha   = ; ebbene [La proporzione che segue nel testo esprime l’enunciato del primo del teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo OBA, in cui a = OA, b = OB, c = OC: tale uguaglianza di rapporti è una interpretazione geometrica dell’uguaglianza numerica 2 +1/1  =  1/(√2  – 1)], se a : b = b : c, e se a, b, c hanno una misura comune, allora lo stesso vale per tutte le lunghezze ottenute continuando la progressione verso il basso, il che è assurdo, giacché le lunghezze OB’, OC’, OB’’, OC’’, ecc. diventano piccole quanto si vuole). […]

Da quel che mi sembra, Eudosso deve essere stato il primo matematico nella storia greca. Hai un bel dire che è un seguace del pitagorismo, ma non posso pensare che questo importi molto. […] D’altro canto trovo molto seducenti, e nel contempo abbastanza verosimili, le tue idee sul ruolo della proporzione nella storia del pensiero greco. Questo conferma un po’, mi sembra, che vi è stato un dramma nella vicenda degli incommensurabili. La proporzione è ciò che si nomina; il fatto che vi siano rapporti che non sono nominabili (e nominabile è un rapporto fra numeri interi), che vi siano stati dei lógoi álogoi, l’espressione stessa è tanto sconvolgente che non posso credere che […] un fatto così straordinario abbia potuto essere preso per una semplice scoperta scientifica […]

 Fraternamente,

A.

[Parigi, fine marzo – aprile 1940]

Mio caro fratello,

la mia idea, sulla scoperta degli incommensurabili, è che i Greci abbiano cominciato con lo scoprire non già che la diagonale del quadrato è incommensurabile, ma che fra due numeri di cui uno è il doppio dell’altro non c’è media proporzionale. Come indizi storici, conosco solo due testi. Uno, di Platone, nel Menone, dove Socrate, per provare che ogni anima – compresa quella degli schiavi – proviene dal “cielo intelligibile”, interroga uno schiavo sulla duplicazione del quadrato, e gli fa trovare (con domande ben ponderate) che il doppio di un quadrato si ottiene prendendo la diagonale come lato. Nient’altro; ma la scelta del problema (duplicazione del quadrato) suggerisce che sia legato a una conoscenza che attesta in modo eminente l’origine divina dell’intelligenza umana; e quale sarebbe, questa conoscenza, se non quella degli incommensurabili? L’altro testo è di Aristotele; dice che l’incommensurabilità della diagonale si dimostra per assurdo: perché se la diagonale fosse commensurabile, il pari sarebbe uguale al dispari. Il numero pari e nel contempo dispari è chiaramente quello che misura la diagonale. Siccome i pitagorici (autori della scoperta) davano il nome di aritmetica allo studio del pari e del dispari, non è affatto inverosimile, anzi, che quella dimostrazione sia loro. Cercando una media proporzionale fra un numero e il suo doppio è possibile che si siano chiesti, prima di trovarla, se fosse pari o dispari; e abbiano visto che necessariamente è al tempo stesso l’uno e l’altro; e ne abbiano concluso che non esiste. […]

Quando dico che non c’è stato dramma degli incommensurabili, non voglio dire che i Greci non siano stati sconvolti dall’emozione per quella scoperta. So che lo sono stati; se ne vede traccia dappertutto. […] Ma penso che quella emozione sia stata gioia, e non angoscia. Come puoi vedere da quel che precede, penso che siano stati non già stupiti che vi fossero rapporti non definibili dai numeri, quanto intensamente felici nel vedere che anche ciò che non si definisce tramite numeri continua a essere un rapporto. […] Gli uomini di second’ordine probabilmente sono rimasti costernati; gli altri sicuramente si sono estasiati […] Ad ogni modo penso che gli incommensurabili abbiano dato ai Greci l’idea d’intelligibile puro, ossia, detto in maniera più precisa, che abbiano loro procurato verità che esigono, perché le si colga, una separazione fra intelligenza e uso dei sensi più netta di quella richiesta dalle proposizioni relative ai numeri; per questo sono sembrati loro un dono degli dèi. […]

Se Pitagora, come suppongo, ha costruito un triangolo rettangolo con due triangoli simili per formare delle medie proporzionali [Il triangolo rettangolo OBA disegnato nella lettera del 28 marzo 1940 si può ottenere unendo i triangoli simili OBC e BCA, aventi il lato BC in comune. Un caso particolare di questa costruzione è quello in cui OA = 2 OC]; se ha così ottenuto una media fra un numero e il suo doppio, sapendo già che non avrebbe potuto ottenerla in numeri; se ha concepito il rapporto fra quella media e quel numero come un rapporto esatto, cosa che sembrava indicare che il potere dell’intelligenza si estende a tutto quello che non si calcola – allora si capisce benissimo il tono di esaltazione estatica che caratterizza qualsiasi evocazione della geometria, e segnatamente degli incommensurabili. Altrimenti non si capirebbe.

Trovare nei numeri leggi che permettano di definire in anticipo i caratteri (pari, dispari, quadrato, ecc.) di numeri che non abbiamo formato noi – trovare, laddove il numero non può fornire alcun aiuto, rapporti non numerici esatti come i rapporti fra numeri – ecco due cose inebrianti, ma la seconda molto di più.

Penso quindi che la nozione di proporzione, quale compare nel quinto libro di Euclide, sia di molto anteriore a Eudosso. (E’ quello che volevo suggerire segnalando la matrice pitagorica di Eudosso). La filosofia di Platone è incomprensibile se non si ammette che egli abbia avuto questa nozione. A rigore, avrebbe potuto mutuarla da Eudosso, suo contemporaneo – ma nessuna tradizione, né, credo, nessuna internal evidence indica che abbia ricevuto una rivelazione da un contemporaneo. Avrebbe forse messo in bocca a Socrate l’allusione alla diagonale del quadrato, che ti ho ricordato, se al tempo di Socrate fosse stata oggetto di scandalo e segno di un fallimento? […]

 Nelle cose visibili, la proporzione permette al pensiero di cogliere in un sol colpo una diversità complessa, dove, senza il soccorso della proporzione, si perderebbe. L’anima umana è esiliata nel tempo e nello spazio, che la privano della sua unità; tutti i procedimenti di purificazione valgono a liberarla dagli effetti del tempo, in modo che giunga a sentirsi quasi a casa propria nel luogo stesso del suo esilio. Il solo fatto di poter cogliere in un sol colpo una molteplicità di oggetti, di poter concepire in un sol colpo una molteplicità di punti di vista su uno stesso oggetto rende l’anima felice; ma bisogna che la regolarità e la diversità siano combinate in modo che il pensiero sia incessantemente sul punto di perdersi nella diversità e incessantemente salvato dalla regolarità. Ma gli oggetti fabbricati a questo scopo non bastano; il pensiero aspira a concepire il mondo stesso come analogo a un’opera d’arte, all’architettura, alla danza, alla musica. A questo scopo bisogna trovarvi la regolarità nella diversità, vale a dire delle proporzioni. […]

Agli occhi dei Greci la misura, l’equilibrio, la proporzione e l’armonia costituivano il principio stesso della salvezza dell’anima, perché i desideri hanno come oggetto l’illimitato. Concepire l’universo come un equilibrio, un’armonia, è come farne uno specchio della salvezza. Anche nei rapporti fra gli esseri umani il bene consiste nell’eliminare l’illimitato; in questo risiede la giustizia (che può allora definirsi solo mediante l’uguaglianza). Lo stesso vale nei rapporti di un uomo con se stesso. Sulla “uguaglianza geometrica” come suprema legge dell’universo e al tempo stesso condizione per la salvezza dell’anima c’è un passo del Gorgia [Platone, Gorgia, 507 e – 508 a [“A questo scopo [l’uomo] deve volgere tutte le energie sue e quelle della Città: che giustizia e temperanza siano presenti in chi vuole essere felice. In questo modo egli deve comportarsi e non deve permettere che le sue passioni si sfrenino, per poi cercare di soddisfarle – male interminabile! – vivendo, così, una vita da ladro. Infatti, quest’uomo non potrebbe essere amico né ad altro uomo né a un dio, perché non ha capacità di comunanza con essi, e dove non c’è comunanza non ci può essere neppure amicizia. E i sapienti dicono, o Callicle, che cielo, terra, dei e uomini sono tenuti insieme dalla comunanza, dall’amicizia, dalla temperanza e dalla giustizia: ed è proprio per tale ragione, o amico, che essi chiamano questo intero universo “cosmo”, ordine, e non, invece, disordine o dissolutezza. Ora, mi sembra che tu non ponga mente a queste cose, pur essendo tanto sapiente, e mi sembra che ti sia sfuggito che l’uguaglianza geometrica ha un grande potere fra gli dei e fra gli uomini. Tu credi, invece, che si debba perseguire l’eccesso: infatti trascuri la geometria!”] [trad. di G. Reale, in Platone, Tutti gli scritti, Bompiani, Milano 2001]]. […]

Fraternamente,

Simone

(Simone Weil – André Weil, L’arte della matematica, Adelphi, Milano 2018, pp. 17; 20 – 21; 30; 36 – 40; 67; 70; 72 – 73; 76 – 78; 80; 105 – 106; 94 – 95. Simone Weil non rispose alla lettera del fratello del 29 marzo 1940, ma redasse due abbozzi di risposta, di cui sono qui riportati alcuni estratti).

[Gli insetti che] nascono dall’accoppiamento degli animali dello stesso genere, prolificano anch’essi secondo il genere, quelli invece che nascono non da animali ma dalla materia putrefatta [secondo la teoria della generazione spontanea] generano sì, ma prole di genere diverso che non è né femmina né maschio. Così dunque è una parte degli insetti. Il che peraltro accade a ragione. Se infatti dall’accoppiamento di animali non nati da animali nascesse prole e questa fosse simile ai genitori, la similarità dovrebbe riguardare fin dal principio anche il modo della nascita dei genitori. A ragione riteniamo questo, perché così succede manifestamente per tutti gli altri animali. Se invece la prole fosse dissimile ma capace di accoppiarsi, da essa daccapo si produrrebbe una natura diversa, e poi un’altra ancora diversa e così via all’infinito. Ma la natura evita l’infinito, perché l’infinito è incompiuto e la natura ricerca sempre un compimento.

(Aristotele, La riproduzione degli animali, I, 715 b, traduzione e cura di D. Lanza, UTET, Torino 1971)

È chiaro che, se l’infinito non esiste assolutamente, si hanno molte conseguenze impossibili. Il tempo avrà un inizio e una fine, le grandezze [geometriche] non saranno divisibili in grandezze e il numero non sarà infinito. Ma dal momento che, in base alle distinzioni precedenti, non sembra ammissibile né una cosa né l’altra, occorre un arbitro: evidentemente in un senso l’infinito è e in un altro non è. Si dice che l’essere è in potenza o in atto e l’infinito è sia per addizione che per divisione. Ma la grandezza in quanto è in atto non è infinita, come si è detto, ma lo è per divisione, perché non è difficile confutare la teoria delle linee indivisibili. Rimane, dunque, che l’infinito è in potenza. Ma non bisogna assumere “ciò che è in potenza” nel senso in cui, per esempio, si dice che, se questo materiale è potenzialmente una statua, allora sarà una statua. In questo senso sarebbe infinito ciò che sarà in atto. Ma poiché l’essere si dice in molti modi, come si dice “il giorno è”, “la gara è”, in quanto diventano sempre altro e poi altro, così è l’infinito. E infatti anche a questi esempi si applica l’essere in potenza e in atto, perché i giochi olimpici sono sia in quanto possono aver luogo sia in quanto hanno luogo. E’ chiaro che l’infinito ha sensi diversi, se applicato al tempo, o alle generazioni umane o alla divisione delle grandezze. In generale, infatti, l’infinito è così, nel senso che è assunto sempre diverso, e ciò che è assunto è sempre finito, ma sempre diverso e poi ancora diverso. … Ma nelle grandezze ciò che è assunto permane, mentre nel tempo e nelle generazioni umane scompare, ma in modo da non lasciare nulla.

(Aristotele, Fisica, III 6, 206 a, 206 b 1 – 4; in G. Cambiano, Filosofia e scienza nel mondo antico, Loescher, Torino 1976)

Infinita è dunque quella grandezza della quale, rispetto alla quantità data, è possibile continuare a prendere una parte sempre nuova. Mentre ciò al di fuori del quale non c’è nulla, questo è ciò che è compiuto [téleion] e intero. In questo modo, infatti, viene definito l’intero: ciò che non manca di nulla; ad esempio, un uomo è un intero, oppure un forziere. E ciò è vero tanto nelle cose particolari, quanto anche in ciò che è considerato intero in senso generale: ad esempio, l’intero come ciò rispetto al quale nulla esiste al di fuori. Mentre ciò al di fuori del quale si dà qualcosa, manca di qualcosa e non è intero, per quanto infima sia la parte che gli manca. “Intero” e “compiuto” sono, o del tutto identici, o pressoché della stessa natura. Ma niente è compiuto se non ha un termine [télos], mentre il termine è limite.

(Aristotele, Fisica, III 6, 207 a 7 – 15, traduzione e cura di L. Ruggiu, Rusconi, Milano 1995)

R. Radice, in Fisica, Bompiani, Milano 2011, qui traduce téleion con “perfetto” anziché “compiuto” e télos con “fine” (inteso come sinonimo di “scopo”) anziché “termine”. La sua traduzione dell’ultimo periodo dello stesso brano aristotelico è: Ma niente è perfetto, se non quello che ha un fine, e il fine è il limite.

Questo discorso non intende affatto sottrarre ai matematici le loro indagini, per il fatto che esso nega che l’infinito sia tale da essere in atto percorribile in direzione dell’accrescimento. Essi non hanno infatti bisogno in questo momento dell’infinito (infatti non ne fanno uso), ma soltanto di una quantità finita grande quanto essi vogliono e che, nello stesso rapporto con il quale è divisa la grandezza massima, con questo stesso rapporto possa essere divisa qualsiasi altra grandezza, sicché in relazione alle loro dimostrazioni non importerà affatto che l’infinito esista nelle grandezze esistenti.

(Aristotele, Fisica, III 7, 207 b 27 – 34; in G. Cambiano, Filosofia e scienza nel mondo antico, Loescher, Torino 1976)

E’ assurdo prestare credito al pensiero, perché l’eccesso e il difetto non hanno luogo nella cosa, ma nel pensiero. Infatti ciascuno di noi si potrebbe pensare molte volte se stesso, accrescendolo all’infinito. Ma che esso esista fuori della stessa grandezza che abbiamo noi non è per il fatto che lo si pensi, ma per il fatto che esiste. Il pensarlo, invece, è accidentale. Il tempo, il movimento e il pensiero sono infiniti [Secondo Aristotele, l’infinità del movimento deriva dalla continuità dello spazio in cui esso si compie, e quindi dalla infinita divisibilità di quest’ultimo] ma senza che persista ciò che è assunto. La grandezza, invece, non è infinita né per sottrazione né per aumento effettuati nel pensiero.

(Aristotele, Fisica, III 8, 206 a 14 – 22; in G. Cambiano, Filosofia e scienza nel mondo antico, Loescher, Torino 1976)

Il profitto (o utile netto) di una azienda realizzato in un determinato periodo di tempo è la differenza fra i ricavi totali e i costi totali dell’impresa nell’intervallo temporale considerato. Il grafico che segue rappresenta la variazione del profitto P ottenuto dal proprietario del forno “Panis” di Roma in funzione della quantità Q di pane venduta presso il suo esercizio commerciale nella settimana compresa fra il 6 ottobre 1582 e il 12 ottobre 1582.